Matris cebir hatırlatma

Matris hatırlatma

3x3 bir A matrisi tanımlayalım

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\] Bir de genel yazılımı göstermek için çok satırlı ve çok sütunlu bir B matrisi gösterelim.

\[ B = \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & ... & b_{1,k} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & ... & b_{2,k} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ b_{n,1} & b_{n,2} & b_{n,3} & ... & b_{n,k} \end{bmatrix} \]

A matrisinin 2. satırını yazmak isterseniz aşağıdaki notasyonu kullanmanız gerekir.

\[A_{2}^{satır} = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\] A matrisinin 3. sütununu yazmak isterseniz aşağıdaki notasyonu kullanmanız gerekir.

\[A_{3}^{sütun} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}\]

Daha genel yazılımı kullanmak istersek, mesela B matrisinin i’nci satırını yazalım.

\[ B_{i}^{satır} = \begin{bmatrix} b_{i,1} & b_{i,2} & b_{i,3} & ... & b_{i,k} \end{bmatrix} \] mesela B matrisinin j’nci sütununu yazalım.

\[ B_{j}^{sütun}= \begin{bmatrix} b_{1,j} \\ b_{2,j} \\ ... \\ ... \\ b_{n,j} \end{bmatrix} \] ## Toplama işlemi

Matrislerde toplama yapabilmek için, toplaması yapılacak matrislerin boyutları eşit olmalıdır. Örneğin A matrisimizin boyutu 3x3, yani 3 satır ve 3 sütunu var. Elimizde bir başka 3x3 matris varsa, bu ikisi direk toplanabilir. Örneğin 3x3 bir C matrisi düşünelim.

\[C = \begin{bmatrix} 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0.5 & 0.6 \\ 0.7 & 0.8 & 0.9 \end{bmatrix}\]

O zaman A + C

\[A + C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0.5 & 0.6 \\ 0.7 & 0.8 & 0.9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.1 & 2.2 & 3.3 \\ 4.4 & 5.5 & 6.6 \\ 7.7 & 8.8 & 9.9 \end{bmatrix} \] olur.

Daha genel göstermek istersek B matrisiyke nxk olan bir D matrisini toplayabiliriz.

\[ D = \begin{bmatrix} d_{1,1} & d_{1,2} & d_{1,3} & ... & d_{1,k} \\ d_{2,1} & d_{2,2} & d_{2,3} & ... & d_{2,k} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ d_{n,1} & d_{n,2} & d_{n,3} & ... & d_{n,k} \end{bmatrix} \]

\[ B+D = \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & ... & b_{1,k} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & ... & b_{2,k} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ b_{n,1} & b_{n,2} & b_{n,3} & ... & b_{n,k} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d_{1,1} & d_{1,2} & d_{1,3} & ... & d_{1,k} \\ d_{2,1} & d_{2,2}& d_{2,3} & ... & d_{2,k} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ d_{n,1} & d_{n,2} & d_{n,3} & ... & d_{n,k} \end{bmatrix} \]

\[ B+D = \begin{bmatrix}b_{1,1}+ d_{1,1} & b_{1,2}+ d_{1,2} & b_{1,3}+d_{1,3} & ... & b_{1,k}+d_{1,k} \\ b_{2,1}+ d_{2,1} & b_{2,2}+ d_{2,2}& b_{2,3}+d_{2,3} & ... & b_{2,k}+d_{2,k} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\b_{n,1}+ d_{n,1} & b_{n,2}+ d_{n,2} &b_{n,3}+ d_{n,3} & ... & b_{n,k} + d_{n,k} \end{bmatrix} \] şeklinde yazılabilir.

Herhangi bir matris, başka bir sayıyla direk çarpılabilir. Örneğin A matrisimizi 5 sayısıyla çarparsak

\[5 \cdot A = \begin{bmatrix} 5 \cdot1 & 5 \cdot2 & 5 \cdot3 \\ 5 \cdot4 & 5 \cdot5 & 5 \cdot6 \\ 5 \cdot7 & 5 \cdot8 & 5 \cdot9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 & 15 \\ 20 & 25 & 30 \\ 35 & 40 & 45 \end{bmatrix}\]

sonucunu verecektir. Eğer iki matrisi çarpmak istersek ilk martisin sütun sayısıyla, ikinci matrisin satır sayısı eşit olmak zorundadır. Örneğin A ve C matrislerini çarparsak

\[ A \cdot C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0.5 & 0.6 \\ 0.7 & 0.8 & 0.9 \end{bmatrix} \]

\[ A \cdot C = \begin{bmatrix} A_{1}^{satır}\cdot C_{1}^{sütun} & A_{1}^{satır}\cdot C_{2}^{sütun} & A_{1}^{satır}\cdot C_{3}^{sütun}\\ A_{2}^{satır}\cdot C_{1}^{sütun} & A_{2}^{satır}\cdot C_{2}^{sütun} & A_{2}^{satır}\cdot C_{3}^{sütun}\\ A_{3}^{satır}\cdot C_{1}^{sütun} & A_{3}^{satır}\cdot C_{2}^{sütun} & A_{3}^{satır}\cdot C_{3}^{sütun} \end{bmatrix} \]

Çarpımın sonunda yine 3x3 bir matris elde etmiş oluruz.

\[ \begin{smallmatrix} (1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.7) & (1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.8) & (1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.6 + 3 \cdot 0.9) \\ (4 \cdot 0.1 + 5 \cdot 0.4 + 6 \cdot 0.7) & (4 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.5 + 6 \cdot 0.8) & (4 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.6 + 6 \cdot 0.9) \\ (7 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.4 + 9 \cdot 0.7) & (7 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.5 + 9 \cdot 0.8) & (7 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.6 + 9 \cdot 0.9) \end{smallmatrix} \] \[ A \cdot C = \begin{bmatrix} 3 & 3.6 & 4.2 \\ 6.6 & 8.1 & 9.6\\ 10.2 & 12.6 & 15 \end{bmatrix} \] Eğer A matrisimiz 3 satırlı ve iki sütunlu olsaydı, C matrisinin 2 satırlı olma mecburiyeti vardı. Diyelim ki C matrisinin boyutu 2x4, yani iki satırlı ve 4 sütunlu bir matris. Bu durumda, A çarpı C bize 3x2 ve 2x4 boyutlu matrisleri çarptığımız için, 3x4 boyutlu bir matris vermek zorundaydı.

Bir matrisin transpozisyonunu (transpose) almak ya T harfiyle ya da ′ işaretiyle gösterilir. Satır ve sütun yer değiştirir.

\[C^T = \begin{bmatrix} 0.1 & 0.4 & 0.7 \\ 0.2 & 0.5 & 0.8 \\ 0.3 & 0.6 & 0.9 \end{bmatrix}\]

Bazı Önemli Özellikler

\(A + B = B + A\)

\(A\cdot(B\cdot C) = (A \cdot B) \cdot C\)

$A(B + C) = AB + AC $

$(B + C)^T = B^T + C^T $

$(A B)^T = B^T A^T $

Özel Matrisler

• Kare matrisler: Satır ve sütun sayısı aynı olan matrislerdir.
• Simetrik matrisler: Transpozisyonuyla aynı olan matrislerdir. \(A = A^T\) dolayısıyla kare matristir.
• Diagonal matrisler: Diagonalı dışında kalan kısmı sıfır olan simetrik matrislerdir.
• Birim matrisler: Diagonal öğeleri bir olan diagonal matrislerdir.

Matrisin İzi (Trace)

Bir matrisin izi diagonal elementlerinin toplamıyla bulunur.

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\]

\(tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15\)

Matrisin Tersi

Bir matrisin başka bir matrisle çarpımı birim matris veriyorsa bu iki matris birbirlerinin tersidir.

$ A B = I $ ise

$ B = A^{-1} $ dir.

Determinant

nxn A matrisinin determinantı, \(\lvert A \rvert\) ya da \(\det(A)\) şeklinde gösterilir.

\[ \lvert A \rvert = \sum (-1)^{j+1} \cdot a_{1j} \cdot \lvert A_{ij} \rvert \] \(A_{ij}\) matrisi, A matrisinin i satırının ve j sütunun çıkarılmış halidir.

Adjoint (katımlı) matris

Bir A matrisinin adjoint matrisi, A matrisinin her elamanının yerine \((-1)^{i+j} \cdot \lvert A_{ij} \rvert\) yazılarak bulunur. adj(A) ile gösterilir.

A matrisinin tersi,

\[ A^{-1} = \frac{1}{\lvert A \rvert} \cdot adj(A) \] ile bulunur.

Bir matrisin tersi olabilmesi için \(\lvert A \rvert\) sıfır’a eşit olmamalıdır.

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\]

\[adj(A) = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \cdot \lvert A_{11} \rvert & (-1)^{1+2} \cdot \lvert A_{12} \rvert & (-1)^{1+3} \cdot \lvert A_{13} \rvert \\ (-1)^{2+1} \cdot \lvert A_{21} \rvert & (-1)^{2+2} \cdot \lvert A_{22} \rvert & (-1)^{2+3} \cdot \lvert A_{23} \rvert \\ (-1)^{3+1} \cdot \lvert A_{31} \rvert & (-1)^{3+2} \cdot \lvert A_{32} \rvert & (-1)^{3+3} \cdot \lvert A_{33} \rvert \end{bmatrix}\]

\[adj(A) = \begin{bmatrix} \lvert A_{11} \rvert & - \lvert A_{12} \rvert & \lvert A_{13} \rvert \\ -\lvert A_{21} \rvert & \lvert A_{22} \rvert & - \lvert A_{23} \rvert \\ \lvert A_{31} \rvert & - \lvert A_{32} \rvert & \lvert A_{33} \rvert \end{bmatrix}\]

\[adj(A) = \begin{bmatrix} \lvert \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\rvert & - \lvert \begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} \rvert & \lvert \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \rvert \\ -\lvert \begin{bmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \rvert & \lvert \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} \rvert & - \lvert \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \rvert \\ \lvert \begin{bmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} \rvert & - \lvert \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{bmatrix} \rvert & \lvert \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \rvert \end{bmatrix}\]

\[adj(A) = \begin{smallmatrix} (a_{22} \cdot a_{33} - a_{32} \cdot a_{23} ) & - (a_{21} \cdot a_{33} - a_{31} \cdot a_{23} )& (a_{21} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{22}) \\ -(a_{12} \cdot a_{33} - a_{32} \cdot a_{13}) & (a_{11} \cdot a_{33} - a_{31} \cdot a_{13}) & - (a_{11} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{12})\\ (a_{12} \cdot a_{23} - a_{22} \cdot a_{13}) & - (a_{11} \cdot a_{23} - a_{21} \cdot a_{13})& (a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}) \end{smallmatrix}\]

Cramer Kuralı (Cramer’s rule)

Bir eşitlikler kümesi matris şeklinde gösterilip çözülebilir.

\[ 3 \cdot x_1 + x_2 + 2 \cdot x_3 = 11 \] \[ 2 \cdot x_1 + x_3 = 5 \]

\[ x_2 + 3 \cdot x_3 = 11 \]

Bu üç eşitlik matris formunda şu şekilde yazılabilir.

\[ Ax = b \] \[ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]

\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \] \[ b = \begin{bmatrix} 11 \\ 5 \\ 11 \end{bmatrix} \]

Cramer kuralına göre bilinmeyen x’ler b vektörünün A matrisinde gerekli sütununa yazılarak bulunacak ikinci bir matris yardımıyla bulunabilir.

\[ x_1 = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert A_1 \rvert} \] \[ x_2 = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert A_2 \rvert} \]

\[ x_3 = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert A_3 \rvert} \]

A matrisinin determinantını bulmayı biliyoruz. \(A_1\) matrisini bulmamız lazım.

\[ A_1 = \begin{bmatrix} 11 & 1 & 2 \\ 5 & 0 & 1 \\ 11 & 1 & 3 \end{bmatrix} \] \(A_1\) matrisi, 1. sütunun yerine, b vektörünün yazılmasıyla bulunur. Bu iki matrisin detarminantlarının bölümü çözümü verir.

Ödev

• x vektörünün çözümlerini Cramer kuralıyla bulun.